Das lebendige Theorem (German Edition)

im Einzelnen lesen, ich nehme es auf mich und werde versuchen, das in ein Stabilitätstheorem für die Transportlösung mit kleiner analytischer Störung zu integrieren! Alles Weitere bald! Clement

Date: Tue, 18 Nov 2008 16:23:17 +0100
From: Clement Mouhot
To: Cedric Villani
Subject: Re: Dimanche IHP
Eine vage Bemerkung, nachdem ich einen Artikel von Tao (im Grunde die Zusammenfassung, die er davon auf seinem Blog gibt) über die schwache Turbulenz und die kubische 2d defokussierende Schrödinger-Gleichung angeschaut habe.
Seine Definition der schwachen Turbulenz ist: asymptotischer Massenschwund in der Frequenzvariablen, und seine Definition der starken Turbulenz ist: Massenschwund in der Frequenzvariablen in endlicher Zeit. Hier ist die Vermutung, die er für seine Gleichung formuliert: Vermutung. * (Schwache Turbulenz) Es gibt glatte Lösungen u(t,x) von (1), so dass \|u(t) \|_{H^s({ Bbb T}^2)} nach unendlich geht, wenn t \to \infty für jedes s > 1.

Mal sehen, ob man das auch für die Lösungen beweisen kann, die wir zu konstruieren versuchen (für den freien Transport explodieren die Ableitungen in x geradezu). Da sie in unserem Fall anscheinend durch den Torus begrenzt werden müssen, damit dieses Phänomen sichtbar ist, ohne dass die Dispersion in der reellen Variablen x es wegschafft. Dagegen verstehe ich nicht, dass er behauptet, dass dieses Phänomen nichtlinear ist und dass man es in den linearen Fällen nicht beobachtet. In unserem Fall scheint das schon auf der linearen Ebene vorzuliegen …

Fortsetzung folgt, clement

Date: Wed, 19 Nov 2008 00:21:40 +0100
From: Cedric Villani
To: Clement Mouhot
Subject: Re: Dimanche IHP
Also Folgendes für heute. Ich habe einige zusätzliche Überlegungen in die Datei Schätzungen eingetragen, den ersten Abschnitt, der eher überflüssig geworden ist, gelöscht und verschiedene Schätzungen, die auf verschiedene Dateien zerstreut waren, neu gruppiert, so dass jetzt alles im Prinzip in einer einzigen Datei ist.
Ich glaube, dass wir uns noch nicht über die Norm im Klaren sind, innerhalb welcher wir arbeiten wollen:
– aufgrund dessen, dass die Gleichung für \rho im Falle eines homogenen Feldes ein Integral nur nach der Zeit ist, sind wir gezwungen, innerhalb einer festen Norm zu arbeiten, die daher auch gegenüber der Wirkung der Zusammensetzung mit \Om _stabil_ sein muss.
– Fourier scheint sich aufzudrängen, damit wir die Umwandlung des Analytischen in eine exponentielle Abnahme erhalten. Ich weiß nicht, wie ich die exponentielle Konvergenz direkt ohne Fourier hinbekommen soll, das muss natürlich möglich sein.
– aufgrund dessen, dass die Variablenänderung in (x, v) stattfindet und dass die Fouriertransformierte von \rho Dirac in \eta ist, hat man den Eindruck, dass das, was wir brauchen, eine analytische Norm von der Art L^2 in k und L^1 in \eta ist.
– aber die Zusammensetzung wird in einem Raum vom Typ L^1 gewiss nie stetig sein, also ist es das nicht, zweifellos muss man hier recht clever vorgehen und wahrscheinlich mit dem »Aufintegrieren« der \eta beginnen. Bliebe noch eine analytische Norm vom Typ L^2 in der Variablen k.

Schlussfolgerung: Wir müssen uns noch mal clever anstellen.

Fortsetzung folgt,

Cedric

Date: Wed, 19 Nov 2008 00:38:53 +0100
From: Cedric Villani
To: Clement Mouhot
Subject: Re: Dimanche IHP
On 11/19/08, 00h21, Cedric Villani wrote:

> Schlussfolgerung: Wir müssen uns noch mal clever anstellen.

Right now ist mein Eindruck, dass wir, um aus dieser Lage herauszukommen, dieses Kontinuitätstheorem der Zusammensetzung durch Omega für die analytische Norm L^2 in Fourier brauchen (ohne Verlust der Gewichtung …) und \eta als einen Parameter betrachten. Gut, bis morgen :-)

Date: Wed, 19 Nov 2008 10:07:14 +0100
From: Cedric Villani
To: Clement Mouhot
Subject: Re: Dimanche IHP
Nach einer durchschlafenen Nacht scheint es, dass das NICHT REALISTISCH ist: Die Wirkung der Zusammensetzung durch Omega wird ZWANGSLÄUFIG einen geringen Verlust in lambda erzeugen (das ist schon dann der Fall, wenn Omega = (1-epsilon) Id). Also wird es wohl trotz des Anscheins notwendig sein, sich damit abzufinden.
Fortsetzung folgt …
Cedric

Date: Wed, 19 Nov