Je mehr Löcher, desto weniger Käse

Titel: Je mehr Löcher, desto weniger Käse
Autoren: Holger Dambeck

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einer vollständigen Fallunterscheidung aller infrage kommenden Quersummen.
    QS (z) = 1:
    Nur die Zahl z = 1000 ist vierstellig und hat die Quersumme 1. Diese Zahl ist auch durch 1 teilbar. Also gibt es in diesem Fall genau eine Lösung.
    QS (z) = 2:
    Die Endziffer von z muss wegen (3) gerade sein. Wenn die Endziffer 2 ist, dann müssen alle anderen Ziffern wegen QS (z) = 2 gleich 0sein. Dann wäre z aber nicht vierstellig. Folglich muss die Endziffer 0 sein. Weil z vierstellig ist, kommen nur die drei Lösungen 1100, 1010 und 2000 infrage.
    QS (z) = 3:
    Da eine Zahl genau dann durch 3 teilbar ist, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist, ist Bedingung (3) auf jeden Fall erfüllt. Nur Zahlen mit den Ziffern 1, 1, 1, 0 oder 1, 2, 0, 0 oder 3, 0, 0, 0 können die Bedingungen (1), (2) und (3) erfüllen. Unter Beachtung der durch (1) erlaubten Vertauschungen der Ziffern (ganz links darf keine Null stehen, sonst wäre die Zahl nicht vierstellig) gibt es für die Ziffern 1, 1, 1, 0 genau 3, für die Ziffern 1, 2, 0, 0 genau 6 und für die Ziffern 3, 0, 0, 0 genau eine Lösung. Insgesamt kommen wir hier also auf zehn verschiedene Zahlen mit den geforderten Eigenschaften.
    QS (z) = 4:
    Um der Bedingung (3) zu genügen, muss die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar sein. Infrage kommen nur …00, …12 und …20, weil die Quersumme sonst größer als 4 wird. Jetzt müssen wir noch die anderen beiden Ziffern finden: Wenn die beiden Endziffern Nullen sind, dann kann z nur 4000, 3100, 2200 oder 1300 sein. Wenn 1 und 2 die beiden letzten Ziffern sind, so kann z nur 1012 sein. Sind 2 und 0 die Endziffern, so kann z nur 2020 oder 1120 sein. Also gibt es in diesem Fall sieben Zahlen mit den geforderten Eigenschaften.
    QS (z) = 5
    Die Zahl muss durch 5 teilbar sein, also auf 0 oder 5 enden. Die letzte Ziffer kann jedoch nicht 5 sein, weil die Quersumme der Zahl ja schon 5 ist, also ist die letzte Ziffer eine 0.
    Wegen Bedingung (1) kann die erste Stelle nur 1, 2, 3, 4 oder 5 sein. Wir ermitteln alle zulässigen Zahlen der Größe nach:
    1040, 1130, 1220, 1310, 1400, 2030, 2120, 2210, 2300, 3020, 3110, 3200, 4010, 4100, 5000.
    Folglich gibt es in diesem Fall genau 15 Zahlen mit den geforderten Eigenschaften.
    Damit erfüllen insgesamt 1 + 3 + 10 + 7 + 15 = 36 vierstellige Zahlen die Bedingungen.
    Aufgabe 36
    Die Summe zweier natürlicher Zahlen ist durch 3 teilbar, ihre Differenz nicht. Beweisen Sie, dass beide Zahlen nicht durch 3 teilbar sind.
    Wir schreiben die beiden natürlichen Zahlen in der Form 3m + x und 3n + y, wobei m, n, x, y natürliche Zahlen sind und x sowie y nur die Werte 0, 1, 2 annehmen können. Wenn die Summe der beiden Zahlen durch 3 teilbar ist, dann gilt entweder x = 0; y = 0 oder x = 1; y = 2 beziehungsweise x = 2; y = 1. Im Fall x = 0; y = 0 ist die Differenz der beiden Zahlen jedoch ebenfalls durch 3 teilbar, was laut Aufgabe nicht erlaubt ist. Also muss x = 1; y = 2 beziehungsweise x = 2; y = 1 gelten, was bedeutet, dass die Differenz den Rest 1 oder 2 lässt. Damit ist gezeigt, dass beide Zahlen nicht durch 3 teilbar sein können.
    Aufgabe 37
    Bei einem Kryptogramm repräsentiert jeder Buchstabe eine der Ziffern von 0 bis 9. Verschiedene Buchstaben stehen für verschiedene Ziffern. Finden Sie alle Lösungen für folgendes Kryptogramm:



    Es muss gelten D = 1. Außerdem ist C = 0, weil B + C = B ist. Wenn C = 0 ist, ist A = 5. B kann dann eine der Zahlen 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 sein.
    Aufgabe 38
    Wenn vier Hasen vier Löcher in vier Tagen graben, wie lange brauchen dann acht Hasen, um acht Löcher zu graben?
    Die Hasen brauchen ebenfalls vier Tage. Sie sind zwar doppelt so viele, müssen aber auch doppelt so viele Löcher graben.
    Aufgabe 39
    Finden Sie alle geraden Zahlen n, für die gilt: Ein Quadrat lässt sich in n Teilquadrate zerlegen. Hinweis: Die Teilquadrate müssen nicht gleich groß sein.
    Ab n = 4 können wir ein Quadrat immer wie gewünscht zerlegen, und zwar folgendermaßen. Wenn n = 2k ist (k > 1), dann dividieren wir die Seitenlänge l des Quadrats durch k. Dies ist die Seitenlänge der 2k – 1 kleinen Quadrate, die gemeinsam zwei Streifen der Breite l/k innerhalb des großen Quadrats bilden – siehe Skizze (Fall n = 12). Dann bleibt noch ein

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