Je mehr Löcher, desto weniger Käse

Titel: Je mehr Löcher, desto weniger Käse
Autoren: Holger Dambeck

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/ 2 × 60 = 30 Grad.

    Wenn wir nun die graue, durchgezogene Linie der Länge b einzeichnen, die senkrecht auf der Dreiecksseite mit der Länge 2 × R steht und diese genau in der Mitte teilt, wird klar, wie wir rechnen müssen. Die beiden entstandenen Dreiecke mit der Seitenlänge R, R + r und b bilden je eine Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge R + r, also muss 2 × b = R + r sein. Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras rechnen:

    Aufgabe 29
    Finden Sie alle natürlichen Zahlen a, b, c, die die Gleichung a 2 + b 2 = 8c – 2 erfüllen.
    Die rechte Seite der Ausgangsgleichung 8c – 2 lässt bei der Division durch 8 den Rest 6 (–2 und + 6 sind identisch). Links stehen zwei Quadratzahlen. Wir untersuchen nun, welchen Rest die Summe zweier Quadratzahlen bei der Division durch 8 lässt. Eine natürliche Zahl y kann den Rest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 haben. Das Quadrat y 2 besitzt dann folgende Reste:

    Wenn eine Quadratzahl nur den Rest 0, 1 oder 4 hat, dann hat die Summe zweier Quadratzahlen den Rest 0, 1, 2, 4 oder 5. Weil die rechte Seite der Gleichung bezüglich 8 aber den Rest 6 hat, kann es keine Lösung geben.
    Aufgabe 30
    Sie schauen auf eine Wanduhr, die Stunden- und Minutenzeiger stehen in diesem Moment zufällig genau übereinander. Wie lange müssen Sie warten, bis dies wieder geschieht?
    In zwölf Stunden überholt der große den kleinen Zeiger elfmal. Weil sich beide Zeiger mit konstanter Geschwindigkeit drehen, ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zeigerbegegnungen immer gleich. Es dauert also 12/11 Stunden, was einer Stunde, fünf Minuten und 27 Sekunden entspricht.
    Aufgabe 31
    Auf einer Messe hat eine Firma zu einer Standparty eingeladen. Jeder Gast tauscht mit jedem anderen Gast Visitenkarten aus. Insgesamt 2450 Karten wechseln so den Besitzer. Wie viele Gäste waren auf der Party?
    n Leute geben n – 1 anderen Personen eine Karte – also werden n × (n –1) Karten getauscht. Weil 2450 = 50 × 49 ist, sind genau 50 Gäste auf der Party.
    Aufgabe 32
    Finden Sie alle natürlichen Zahlen x, y, für die gilt


    Wir multiplizieren die Gleichung mit xy (x;y > 0) und erhalten:


    Weil sowohl x als auch y natürliche Zahlen >0 sind, muss 2/(y – 1) eine natürliche Zahl sein. Und das ist nur für y = 2 und y = 3 der Fall. Damit erhalten wir die Lösungen 3;2 und 2;3.
    Aufgabe 33
    Drei Kreise mit gleichem Radius schneiden sich so, dass der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem Rand der beiden anderen Kreise liegt, siehe Abbildung. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dunklen Fläche, die von allen drei Kreisen zugleich bedeckt wird!
    Die drei Kreise haben den Radius R. Die zu berechnende Fläche
    setzt sich zusammen aus einem gleichseitigen Dreieck (Seitenlänge R) und drei identischen Kreissegmenten. Ein Kreissegment hat die Fläche eines Sechstel Tortenstücks minus der Fläche des gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge R – siehe Zeichnung. Ein Sechstel Tortenstück entspricht einem Sechstel Kreis.

    Also gilt:
    Fläche Kreissegment =
    =
    Gesuchte Fläche = 3 × Kreissegment + Fläche Dreieck
      =
      =
    Aufgabe 34
    Auf dem Tisch stehen zwei gleich große, gleich volle Gläser. In dem einen ist Rotwein, in dem anderen Wasser. Mit einer Pipette nehmen Sie eine kleine Menge Rotwein und geben sie ins Wasser. Anschließend entnehmen Sie mit der Pipette dasselbe Volumen Flüssigkeit aus dem Glas mit Wasser und etwas Wein und geben sie zurück in das Weinglas. Beide Gläser sind nun wieder gleich voll. Ist dann mehr Wein im Wasser oder mehr Wasser im Wein?
    Im Weinglas ist genauso viel Wasser wie Wein im Wasserglas – und das kann man auch ohne komplizierte Rechnung zeigen. Die Menge Rotwein, die im Wasserglas ist, fehlt im Weinglas. Und genau dasselbe Volumen, nur eben als Wasser, muss im Weinglas sein, denn nur dann sind beide Gläser genau gleich voll.
    Aufgabe 35
    Von einer ganzen Zahl z wird gefordert:
    (1) Die Zahl z ist größer als 999 und kleiner als 10.000.
    (2) Die Quersumme von z ist kleiner als 6.
    (3) Die Quersumme von z ist Teiler von z.
    Wie viele Zahlen gibt es, die diese Bedingungen erfüllen?
    Die Lösung der Aufgabe ist etwas umfangreicher, aber sie zeigt sehr schön, wie systematisch Mathematiker oft vorgehen. Wir bezeichnen die Quersumme von z mit QS (z). Gelöst wird die Aufgabe mit

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