Je mehr Löcher, desto weniger Käse

Ziehens müssen Ihre Augen geschlossen bleiben, erst wenn Sie damit fertig sind, dürfen Sie die Augen wieder öffnen. Wie viele Kugeln müssen Sie aus der Kiste nehmen, damit Sie auf jeden Fall zwölf von einer Farbe haben?
    Wir schauen uns einfach den ungünstigsten Fall an. Also: Wie viele Kugeln kann ich maximal ziehen, ohne dass ich zwölf von einer Farbe habe? Ganz einfach: elf von jeder Farbe, also 33. Wenn dann noch eine 34. Kugel dazukommt, habe ich mit Sicherheit zwölf gleichfarbige Kugeln, 34 ist deshalb die gesuchte Lösung.
    Aufgabe 9
    Es gilt: 4 2   –   3 2   =   4   +   3   =   7. Dieser Trick funktioniert auch für die Zahlen 11 und 10, also 11 2   –   10 2   =   11   +   10. Gibt es noch mehr davon?
    Wir suchen alle Lösungen der Gleichung a 2   – b 2   =   a   +   b, wobei a und b natürliche Zahlen sind. Mithilfe der bekannten binomischen Formel formen wir die Gleichung geschickt um:
    a 2   –   b 2   =   a   +   b
    (a   +   b)(a   –   b)   =   a   +   b
    (a   +   b)(a   –   b   –   1)   =   0
    Das Produkt zweier Zahlen ist null, wenn einer oder beide Faktoren null sind. Wenn a und b null sind, ist dies erfüllt. Sobald eine der beiden Zahlen a, b größer null ist, ist auch a   +   b größer als null. Dann stimmt die Gleichung nur, falls
    a   –   b   –   1   =   0 beziehungsweise
    a   =   b   +   1
    Also erfüllen alle Zahlenpaare a, b, bei denen a um eins größer ist als b, die Gleichung. Hinzu kommt noch die Lösung a   =   0, b   =   0.
    Aufgabe 10
    Nina und Lilly spielen das folgende Würfelspiel: Jeder Spieler erhält zwei übliche Spielwürfel. Gewürfelt wird abwechselnd, wobei jeder Spieler bei jedem Wurf entscheiden darf, ob er beide Würfel oder nur einen wirft. Die gewürfelten Punktzahlen werden addiert. Wem es zuerst gelingt, genau die Summe 30 zu erreichen, der hat gewonnen, wer über 30 kommt, muss wieder bei null anfangen. Nina hat zunächst immer mit beiden Würfeln gewürfelt und liegt nun bei 25 Punkten. Soll sie beim nächsten Wurf wieder beide Würfel oder nur einen verwenden, um bei diesem Wurf auf 30 zu kommen?
    Um mit einem Würfel genau auf 30 Punkte zu kommen, braucht Nina eine 5. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1 / 6 . Mit zwei Würfeln sind die Kombinationen 1   +   4, 4   +   1, 2   +   3 und 3   +   2 möglich. (Wir müssen unterscheiden zwischen Würfel 1 und Würfel 2, deshalb ist 1   +   4 ein anderer Fall als 4   +   1). Insgesamt gibt es mit zwei Würfeln 36 Kombinationen, also ist die Wahrscheinlichkeit für eine 5 genau 4 / 36   =   1 / 9 . Die Chancen auf einen Sieg sind bei einem Würfel daher größer als bei zwei.
    Der Elfer-Trick: a und b sind einstellige Zahlen, aus ihnen bilden wir die zweistellige Zahl ab. Weil die Ziffer a für die Zehner steht und b für die Einer, können wir sie aber auch in der Form 10   a   +   b schreiben. Diese Zahl multiplizieren wir mit 11, wobei wir auch die 11 zerlegen in 10   +   1:
    ab   ×   11   =   (10   a   +   b)   ×   (10   +   1)
      =   100   a   +   10a   +   10b   +   b
      =   100   a   +   10   ×   (a   +   b)   +   b
    Sofern a   +   b kleiner als 10 ist, haben wir den Rechentrick damit schon bewiesen. Denn das gesuchte Ergebnis können wir in der Form a(a   +   b)b schreiben. Sollte a   +   b größer als 9 sein, müssen wir die Zehnerstelle des Ergebnisses zur Hunderterziffer addieren, wie im Rechenbeispiel 85   ×   11   =   8(8   +   5)5   =   8(13)5   =   (8   +   1)35   =   935.
    Aufgabe 11
    Ein König steht allein auf einem Schachbrett in einer Ecke. Er kann immer nur ein Feld weiterrücken. Immer wenn ihn das Gefühl der Einsamkeit überkommt, rutscht er auf ein benachbartes Feld. Dies geschieht insgesamt 62-mal. Zeigen Sie, dass es ein Feld auf dem Schachbrett gibt, das der König dabei nicht betreten hat.
    Das Schachbrett hat 8   ×   8   =   64 Felder. Wenn ein König 62-mal bewegt wird, kann er höchstens auf 63 Feldern gewesen sein – wir dürfen das Feld, auf dem er zu Beginn stand, ja nicht vergessen. Also hat er mindestens ein Feld nicht betreten.
    Aufgabe 12
    Finden Sie alle zweistelligen natürlichen Zahlen, die gleich dem Dreifachen ihrer Quersumme sind.
    Wenn a die Zehnerziffer und b der Einer der gesuchten zweistelligen Zahl ist, dann muss Folgendes gelten:
    10a   +   b   =   3a   +   3b
    7a   =   2b
    Weil 2 und 7 Primzahlen sind