Je mehr Löcher, desto weniger Käse

Titel: Je mehr Löcher, desto weniger Käse
Autoren: Holger Dambeck

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letzte Ziffer um zwei größer als die mittlere.
    An der Hunderterstelle steht die Ziffer n + 1, in der Mitte bei der Zehnerstelle die Ziffer n und ganz rechts die Ziffer n + 2 (0 ≤ n < 8). Die Quersumme dieser Zahl beträgt 3n + 3 und ist durch 3 teilbar. Damit muss auch die Zahl selbst durch 3 teilbar sein, also gibt es keine dreistellige Primzahl mit den geforderten Bedingungen.
    Aufgabe 24
    In einer Schokoladenfabrik ist etwas schiefgelaufen. In einer von drei Paletten wiegen sämtliche Tafeln nicht 100 Gramm, sondern 102 Gramm. Aber niemand weiß, bei welcher der drei Paletten das Malheur passiert ist. Sie haben eine digitale Präzisionswaage, dürfen diese aber nur ein einziges Mal benutzen. Wie finden Sie den Stapel mit den zu schweren Tafeln?
    Wenn ich aus jeder der drei Paletten eine Schokoladentafel nehme und diese dann gemeinsam wiege, erhalte ich 302 Gramm. Schließlich ist nur eine der drei Tafeln zu schwer. Welche das ist, erfahre ich so nicht. Der Trick ist, dass man nicht von jeder Palette nur eine Tafel nimmt, sondern unterschiedlich viele – zum Beispiel eine von der ersten, zwei von der zweiten und drei von der dritten. Bei der Messung sind dann folgende Ergebnisse möglich:
    602 Gramm: Palette 1 ist die Lösung.
    604 Gramm: Palette 2 ist die Lösung.
    606 Gramm: Palette 3 ist die Lösung.

    Man kann übrigens auch einfach nur eine Tafel vom ersten Stapel und zwei vom zweiten zusammen wiegen.
    302 Gramm: Palette 1 ist die Lösung.
    304 Gramm: Palette 2 ist die Lösung.
    300 Gramm: Palette 3 ist die Lösung.
    Aufgabe 25
    Ein Casanova hat zwei Geliebte und kann sich nicht entscheiden, welche er lieber besucht. Also lässt er den Zufall entscheiden. Weil die Frauen an entgegengesetzten Endpunkten der S-Bahn-Linie wohnen, nimmt er einfach immer die Bahn, die zuerst kommt. In beiden Richtungen fahren die S-Bahnen im Zehn-Minuten-Takt. Nach zwei Monaten stellt er jedoch fest, dass er bei der einen Geliebten 24-mal, bei der anderen jedoch nur 6-mal war. Wie kann das sein?
    Die entgegengesetzt verkehrenden Bahnen fahren immer im Abstand von zwei Minuten los. Zur Minute null startet Bahn A, zwei Minuten später Bahn B, zwei plus acht Minuten später die nächste Bahn A und so weiter. Wenn der Casanova zufällig am Bahnhof ankommt, dann fährt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 / 10 mit der Bahn B und mit einer Wahrscheinlichkeit von 8 / 10 mit Bahn A. Erlandet damit im Durchschnitt viermal so oft bei der einen Freundin wie bei der anderen.
    Aufgabe 26
    In dem Gleichungssystem a + b + c = d + e + f = g + h + i entspricht jedem Buchstaben genau eine der Zahlen von 1 bis 9. Jede Zahl kommt genau einmal vor. Finden Sie alle Lösungen! Das Vertauschen zweier Dreiergruppen stellt keine neue Lösung dar.
    Die Summe über alle neun Zahlen 1 + 2 + 3 + … + 9 beträgt 45, also muss die Summe über die drei Zahlentrios jeweils 15 sein. Es gibt dann nur zwei mögliche Kombinationen: 159 267 348 und 168 249 357. Man findet diese leicht, wenn man mit der 1 beginnt und dann alle Zahlenpaare sucht, die zusammen 14 ergeben. Möglich sind nur 5 + 9 sowie 6 + 8.
    Aufgabe 27
    Bestimmen Sie alle Paare (x;y) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem lösen:
    x 2 + y 2 = 2
    x 4 + y 4 = 4.
    Wir quadrieren die erste Gleichung und benutzen dabei die binomische Formel (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab.
    (x 2 + y 2 ) 2 = 2 2
    x 4 + y 4 + 2x 2 y 2 = 4
    Aus der zweiten Gleichung
    x 4 + y 4 = 4
    folgt direkt, dass 2x 2 y 2 = 0 sein muss, was nur im Fall x = 0 oder y = 0 der Fall ist. Daraus ergeben sich folgende zwei Lösungen:

    Aufgabe 28
    Drei gleich große Kreisscheiben mit dem Radius R liegen so zusammen, dass jede die anderen beiden berührt. In der Mitte zwischen den drei Scheiben befindet sich ein kleiner Kreis, der ebenfalls alle drei großen Kreise berührt. Wie groß ist der Radius des kleinen Kreises?
    Wir nennen den Radius der drei großen Kreisscheiben R, den des kleinen eingeschlossenen Kreises r. Dann bilden die drei Mittelpunkte der großen Kreise ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2 × R. Der Mittelpunkt des kleinen Kreises liegt genau am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Winkel zwischen der Dreiecksseite und der gestrichelt gezeichneten Winkelhalbierenden beträgt 1

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