Je mehr Löcher, desto weniger Käse

Titel: Je mehr Löcher, desto weniger Käse
Autoren: Holger Dambeck

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sowie a und b einstellig, kann b nur 7 sein und damit a = 2. Es gibt also nur eine Lösung: 27.
    Aufgabe 13
    Gegeben sind zwei verschieden große Quadrate. Finden Sie ein Quadrat, dessen Fläche genauso groß ist wie die Fläche der beiden gegebenen Quadrate zusammen.
    Wenn die beiden Quadrate die Seitenlängen a und b haben, dann ist ihre Fläche a 2 beziehungsweise b 2 . Wir suchen also ein Quadrat mit der Seitenlänge c, dessen Fläche c 2 genau der Summe a 2 + b 2 entspricht – also a 2 + b 2 = c 2 . Diese Gleichung erinnert Sie vielleicht an den Satz des Pythagoras. Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt nämlich genau a 2 + b 2 = c 2 , wobei a und b die Längen der Katheten sind, also der Seiten, die den rechten Winkel bilden, und c die Länge der Hypotenuse ist. Für die Lösung konstruieren wir also einfach ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b. Die Seite c ist dann die Seitenlänge des gesuchten Quadrats.

    Aufgabe 14
    Drei gleich große Kreise berühren sich gegenseitig. Wie groß ist die von ihnen eingeschlossene Fläche?

    Die drei Kreise haben den Radius r. Eine Zeichnung verdeutlicht, wie man die eingeschlossene Fläche berechnen kann:
    Wir müssen die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 2r bestimmen und davon die drei Kreissektoren abziehen, die wie besonders große Tortenstücke aussehen. Weil die Winkel im gleichseitigen Dreieck genau 60 Grad groß sind, ist die Fläche jedes dieser Tortenstücke 1 / 6 der gesamten Kreisfläche – bei drei Stücken kommen wir also auf eine halbe Kreisfläche, also auf πr 2 /2. Die Fläche des gleichseitigen Dreiecks beträgt 2 × r × h/2 = r × h. h ist dabei die Höhe des Dreiecks. Wir können sie mit dem Satz des Pythagoras leicht ausrechnen: h 2 + r 2 = (2r) 2 . Daraus ergibt sich h 2 = 4r 2 – r 2 und. Die eingeschlossene Fläche ist daher.

    Aufgabe 15
    Zeigen Sie, dass es unendlich viele Beispiele für fünf aufeinanderfolgende natürliche Zahlen gibt, von denen keine eine Primzahl ist.
    Die fünf Zahlen von 24 bis 28 sind sämtlich keine Primzahlen. Zu ihnen addieren wir beliebige Vielfache von 24 × 25 × 26 × 27 × 28. Das Ergebnis sind stets fünf aufeinander folgende Zahlen, die durch 24, 25, 26, 27 oder 28 teilbar und damit keine Primzahlen sind.
    Aufgabe 16
    Wie Sie wissen, gibt es Münzen für die Cent-Beträge 1, 2, 5, 10, 20 und 50. Wenn man jeden Betrag von 1 bis 99 Cent passend haben möchte, wie viele Münzen braucht man dafür mindestens?
    Beginnen wir mit den Beträgen von 1 bis 4 Cent. Wir brauchen dafür auf jeden Fall drei Münzen: 1 Cent + 2 × 2 Cent oder 2 × 1 Cent + 2 Cent. Mit 4 × 1 Cent könnte man die Beträge ebenfalls darstellen, bräuchte aber eine Münze mehr. Analog dazu brauchen wir für 10, 20, 30 und 40 Cent drei Münzen – entweder 1 × 10 Cent + 2 × 20 Cent oder 2 × 10 Cent + 1 × 20 Cent. Mit sechs Münzen können wir so die Beträge 1 – 4, 10 – 14, 20 – 24, 30 – 34 und40–44 Cent darstellen. Nehmen wir noch die Münzen 5 Cent und 50 Cent dazu, so sind alle Beträge von 1 bis 99 Cent möglich – wir brauchen also insgesamt acht Münzen.
    Aufgabe 17
    Neun Kugeln liegen auf dem Tisch. Eine davon ist etwas schwerer als die anderen. Sie haben eine Waage mit Digitalanzeige. Wie finden Sie die schwerere Kugel, wenn Sie die Waage nur viermal benutzen dürfen?
    Wir wiegen erst die Kugeln 1–3, danach 4–6. Zeigt das Display beide Male dasselbe Gewicht an, muss die gesuchte Kugel die Nummer 7, 8 oder 9 haben. Ist eins der gewogenen Kugeltrios schwerer, wissen wir ebenfalls, unter welchen drei die gesuchte Kugel ist. Von diesen drei Kugeln a, b, c wählen wir zwei aus und wiegen sie einzeln. Entweder ist eine der beiden Kugeln schwerer und damit die gesuchte, oder aber beide sind gleich schwer. Dann ist die dritte, nicht gewogene Kugel die gesuchte.
    Aufgabe 18
    Im Mathetest sollen die Kinder drei natürliche Zahlen addieren, die sämtlich größer als null sind. Hinterher unterhalten sich zwei Schüler. »Oh, ich habe aus Versehen nicht addiert, sondern multipliziert!«, meint das eine Kind. »Das macht nichts, es kommt zufällig dasselbe Ergebnis heraus«, sagt das andere. Mit welchen drei Zahlen haben die Kinder gerechnet?
    Es muss gelten: a × b × c = a +

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