Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

Geheimexponent, weil für sie 35  ×  11 = 1 + 2  ×  192 gilt. 184 hatte Smiley über den Eisernen Vorhang hinweg zum Circus gefunkt. Dies war der Rest, der bei a  = 7 nach Division von a 11 durch 221 verblieb. Allgemein nennen wir den Rest, der nach Division von a 11 durch 221 verbleibt, die codierte oder verschlüsselte Zahl c . In unserem Beispiel ist c  = 184. Und Toby Esterhase berechnet den Rest von c 35 nach Division durch 221, also den Rest von ( a 11 ) 35 nach Division durch 221. Damit entschlüsselt er nämlich die codierte Botschaft c zur ursprünglichen Nachricht a zurück. Warum?
    Weil in ( a 11 ) 35 die Zahl a insgesamt 35  ×  11-mal mit sich multipliziert wird. Was wegen 35  ×  11 = 1 + 2  ×  192 bedeutet, dass die Zahl a insgesamt 2  ×  192-mal und dann noch einmal mit sich multipliziert wird. Wenn man 192-mal a mit sich multipliziert, bleibt nach Division durch 221 der Rest 1. Wenn man das Gleiche 2  ×  192-mal durchführt, bleibt auch der Rest 1, denn 1  ×  1 = 1. Und wenn man diesen Rest 1 noch einmal mit a multipliziert, bleibt schlussendlich der Rest a  ×  1. Mit anderen Worten: Der Rest von c 35 nach Division durch den Modul 221 lautet a  ×  1, also a . Deshalb hat Toby Esterhase nach der Berechnung des Restes von 184 35 den Wunsch George Smileys nach dem Agenten mit der Nummer 7 erkannt.
    16 Tatsächlich hatte bereits drei Jahre zuvor der britische Mathematiker Clifford Christopher Cocks genau die gleiche Idee. Diese war aber in den USA völlig unbekannt, weil der britische Geheimdienst sie nicht nur vor der Sowjetunion, sondern auch vor den Vereinigten Staaten geheim hielt.
    17 Dass man dies weiß, liegt am sogenannten Primzahlsatz, den bereits Gauß vermutet hatte: Die Anzahl der Primzahlen bis zu einer großen Zahl x beträgt ungefähr diese große Zahl x , dividiert durch ihren natürlichen Logarithmus. Dieser natürliche Logarithmus ist grob die Anzahl der Stellen von x multipliziert mit 2,3.
    18 Es war entscheidend, dass Smiley den Zettel, den er aus seinem Schuh geholt hatte, nach dem Funken der verschlüsselten Nachricht verbrannte. Angenommen, er beginge die Todsünde, eine zweite Nachricht, zum Beispiel 0 0 3 0 0 3 0 0 3, mit der gleichen Folge wie zuvor zu verschlüsseln und zu senden. Verschlüsselt würde diese Nachricht, indem er die beiden Zeilen
    1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 …
    0 0 3 0 0 3 0 0 3
    zur folgenden Zeile addiert:
    1 4 4 5 9 5 6 5 6 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 …
    und auf die Länge der Nachricht, also auf
    1 4 4 5 9 5 6 5 6
    zusammenstutzt. Smiley muss damit rechnen, dass Karla die beiden von ihm verschlüsselten Botschaften abfängt und Karlas Leute sie untereinanderschreiben:
    1 4 8 5 9 9 6 5 0
    1 4 4 5 9 5 6 5 6
    Wenn sie die untere von der oberen modulo zehn subtrahieren , bekommen sie
    0 0 4 0 0 4 0 0 4
    also ein offensichtliches Muster. Muster sind der Angriffspunkt für erfolgreiche Attacken auf eine verschlüsselte Botschaft. Bei einer mehrfachen Verwendung des Zettels wäre daher die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb darf er nur einmal verwendet werden, daher auch der Name „one time“ in OTP.
    19 Gebilde, bei denen Ziffern endlos auftauchen, kennen schon Grundschulkinder, wenn sie dividieren lernen. Nur selten gehen Divisionen so schön wie bei 42 : 6 = 7 auf, meist bleibt bei ihnen ein Rest. Dividiert man zum Beispiel 42 durch 15, erhält man den Quotienten 2, denn zweimal ist 15 in 42 enthalten, aber es bleibt der Rest 12. Denn zweimal 15 ergibt nicht 42, sondern nur 30, und der Unterschied von 30 zu 42 beträgt eben dieser Rest. Man schreibt dafür
    42 : 15 = 2 + 12 : 15.
    Allein, die Division des Restes 12 durch 15 ist undurchführbar, weil 15 gar nicht in 12 enthalten ist. Adam Ries, der uns das Stellenwertsystem gelehrt hat, führte mit Hilfe der Zahl Null die Division dennoch weiter: Er fügte an den Rest 12 eine Null hinzu, multiplizierte also 12 mit 10, und konnte die sich so ergebende Division 120 : 15 restlos zu Ende bringen. In zwei Zeilen zusammengefasst:

    Das Ergebnis notiert er als Dezimalzahl 2,8. Grundschulkinder lernen die beiden Zeilen so zu schreiben: Zuerst die Division 42 durch 15 als

    sie notieren also den Rest 12 säuberlich unter den Dividenden 42. Dann hängen sie an diesen Rest 0 an, malen nach dem bisher erhaltenen Quotienten 2 ein Komma

    und dividieren im nächsten Schritt 120 durch 15 mit dem Ergebnis 8,