Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

2 (
b
 – 1)×
a
)
    eine zusammengesetzte Zahl.
    13 Um der Wahrheit die Ehre zu geben: Fermat schrieb diese Zahlen als Potenztürme. Sie besitzen nämlich zugleich die Darstellungen
    ,,,
    und so weiter.
    14 Im Prinzip könnte man 4 294 967 297 der Reihe nach durch die Primzahlen aus einer genügend langen und vollständigen Primzahlentabelle dividieren und untersuchen, ob die Division ohne Rest aufgeht. Aber das ist nicht nur außerordentlich zeitaufwendig, es ist auch erbärmlich primitiv. Euler ging sicher anders vor. Vielleicht stellte er fest, dass 641 = 5 4   +  2 4 und zugleich 641 = 5  ×  2 7   +  1 ist. Wegen der ersten Formel teilt 641 die Zahl (5 4   +  2 4 )  ×  2 28 und wegen der zweiten Formel teilt 641 die Zahl 5 4   ×  (2 28   −  1), weil man deren zweiten Faktor in
    2 28 − 1 = (2 7 + 1)  ×  (2 21 − 2 14 + 2 7 − 1)
    zerlegen kann. Wenn somit 641 die Zahlen (5 4   +  2 4 )  ×  2 28 und 5 4  ×  (2 28   −  1) teilt, dann teilt sie auch deren Differenz, die
    (5 4  + 2 4 )  ×  2 28 − 5 4   ×  (2 28   −  1) = 2 4  ×  2 28 + 1 = 2 32 + 1 = 4 294 967 297
    beträgt.
    15 Wir jedoch wollen verstehen: Warum funktioniert das eigenartige Verfahren des Chiffrierens und Dechiffrierens? Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir weit ausholen und blicken auf Pierre de Fermat, jenen unerhört geistreichen Rechtsgelehrten aus der Zeit des Barock, der seine Freizeit am liebsten mit dem Studium der Zahlen zubrachte.
    Man muss sich Fermat als vom Rechnen besessen vorstellen. Manisch suchte er den Zahlen Geheimnisse zu entlocken. So fiel ihm zum Beispiel auf, dass die fünften Potenzen aller Ziffern durchwegs mit eben dieser Ziffer an der Einerstelle enden: 0 5  = 0 endet mit 0, 1 5  = 1 endet mit 1, 2 5  = 32 endet mit 2, 3 5  = 243 endet mit 3, 4 5  = 1024 endet mit 4, 5 5  = 3125 endet mit 5, 6 5  = 7776 endet mit 6, 7 5  = 16 807 endet mit 7, 8 5  = 32 768 endet mit 8 und 9 5  = 59 049 endet mit 9. Und wie sieht das bei den dritten Potenzen aus? Da stimmt es nicht. Es ist zum Beispiel 2 3  = 8: diese Zahl endet nicht mit 2. Aber Fermat stellt fest, dass 2 3   −  2, also 8  −  2 = 6 durch die Hochzahl 3 teilbar ist. Das nämlich war es eigentlich, was er oben festgestellt hat: dass die fünfte Potenz jeder Ziffer minus eben dieser Ziffer durch fünf teilbar ist. Und er rechnet weiter: Es ist 3 3   −  3, also 27  −  3 = 24, und diese Zahl ist tatsächlich durch 3 teilbar. Genauso bestätigt er dass 4 3   −  4, also 64  −  4 = 60 durch 3 teilbar ist, dass 5 3   −  5, also 125  −  5 = 120 durch 3 teilbar ist, dass 6 3   −  6, also 216  −  6 = 210 durch 3 teilbar ist, dass 7 3   −  7, also 343  −  7 = 336 durch 3 teilbar ist, dass 8 3   −  8, also 512  −  8 = 504 durch 3 teilbar ist, ferner dass 9 3   −  9, also 729  −  9 = 720 durch 3 teilbar ist, dass sogar 10 3   −  10, also 1000  −  10 = 990 durch 3 teilbar ist und dass 11 3   −  11, also 1331  −  11 = 1320 durch 3 teilbar ist.
    Das kann doch kein Zufall sein! Oder vielleicht doch? Was ist, wenn man die vierten Potenzen von Zahlen betrachtet? Zum Beispiel ist 3 4 = 81 Aber 3 4 − 3, also 81 − 3 = 78 ist nicht durch 4 teilbar. Wie aber sieht es mit den siebenten Potenzen aus? Bei 2 7  = 128 tritt das Phänomen wieder zutage: 2 7 − 2, also 128 − 2 = 126 ist durch 7 teilbar. Und bei 3 7 = 2187 stimmt es auch: 3 7 − 3, also 2187 − 3 = 2184 ist durch 7 teilbar.
    Bei der Hochzahl 4 stellt Fermat das Phänomen nicht fest, wohl aber bei den Hochzahlen 5, 3 oder 7. Die Zahlen 3, 5, 7, so überlegt Fermat, sind Primzahlen, 4 hingegen nicht. Vielleicht liegt es daran?
    Nun lässt ihn dieser Gedanke nicht mehr los: Wenn p eine Primzahl bezeichnet, so scheint für jede Zahl a die Differenz a p  – a durch diese Primzahl p teilbar zu sein. Eine raffinierte Überlegung, die sein Zeitgenosse und Brieffreund Blaise Pascal entwickelt hatte, bestärkte ihn bei seiner Vermutung:
    Was geschieht, so fragt Fermat, wenn man nicht die p -te Potzenz von a , also die Zahl a p , sondern die p -te Potenz der nächsten Zahl, also ( a  + 1) p berechnet? Ausführlich angeschrieben sieht das so aus:
    ( a  + 1)
p
 = ( a  + 1) ( a  + 1) ( a  + 1)… ( a  + 1),
    mit anderen Worten: p -mal wird ( a  + 1) mit sich selbst multipliziert. Das auszurechnen scheint unerhört mühsam –