Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

besonders dann, wenn p eine große Primzahl ist. Aber einiges lässt sich doch bei dieser Rechnung feststellen.
    Sehen wir uns zum Beispiel diese Rechnung für die Primzahl p  = 5 an: Das Ergebnis lautet
    ( a + 1) 5 = ( a + 1)( a + 1)( a + 1)( a + 1)( a + 1) = a 5 + 1 + 5 a 4 + 10 a 3 + 10 a 2 + 5 a .
    Wieso kommt man dazu? Der erste Summand a 5 ist klar: Alle fünf ersten Summanden a in den Klammern wurden miteinander multipliziert. Auch der zweite Summand 1 ist klar: Alle fünf zweiten Summanden 1 in den Klammern wurden miteinander multipliziert. Der dritte Summand 5 a 4 kommt so zustande: Man nimmt von den Klammern vier erste Summanden a und einen zweiten Summanden 1 und multipliziert diese. Und es gibt genau 5 Möglichkeiten für diese Auswahl, daher der Faktor 5 vor der Potenz a 4 . Genauso kann man erklären, wie der letzte Summand 5 a entsteht. Der vierte Summand 10 a 3 kommt so zustande: Man nimmt von den Klammern drei erste Summanden a und zwei zweite Summanden 1 und multipliziert diese. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diese Auswahl? Für den einen zweiten Summanden 1 offenbar fünf und für den anderen zweiten Summanden 1 nur mehr vier, denn eine der Zahlen 1 ist ja schon für den ersten Summanden 1 gewählt worden. Das deutet auf 5  ×  4 = 20 mögliche Wahlen hin. Allerdings ist zu bedenken, dass jeweils zwei dieser Wahlen zum gleichen Ergebnis führen, weil von den beiden gewählten Zahlen 1 unerheblich ist, welche von ihnen der „erste“ und welche der „zweite“ der gewählten Summanden ist. Die Anzahl der möglichen Vertauschungen von zwei gewählten Zahlen beträgt 1  ×  2 = 2. Durch diese Zahl 2 muss man 20 dividieren, wodurch der Faktor 10 vor der Potenz a 3 entsteht. Schließlich kommt der dritte Summand 10 a 2 so zustande: Man nimmt von den Klammern zwei erste Summanden a und drei zweite Summanden 1 und multipliziert diese. Wie viele Möglichkeiten gibt es für diese Auswahl? Für den einen zweiten Summanden 1 offenbar fünf, für den nächsten zweiten Summanden 1 nur mehr vier und für den letzten zweiten Summanden 1 nur mehr drei. Das deutet auf 5  ×  4  ×  3 = 60 mögliche Wahlen hin. Allerdings ist zu bedenken, dass jeweils sechs dieser Wahlen zum gleichen Ergebnis führen, weil von den drei gewählten Zahlen 1 unerheblich ist, welche von ihnen der „erste“, welche der „zweite“ und welche der „dritte“ der gewählten Summanden 1 ist. Die Anzahl der möglichen Vertauschungen von drei gewählten Zahlen beträgt 1  ×  2  ×  3 = 6. Durch diese Zahl 6 muss man 60 dividieren, wodurch der Faktor 10 vor der Potenz a 2 entsteht.
    Überdies ist bemerkenswert, dass alle Faktoren 5, 10, 10 und 5 durch 5 teilbar sind. Dies liegt daran, dass 5 eine Primzahl ist.
    Nun beschreiben wir allgemein, wie man
    ( a  + 1)
p
 = ( a  + 1) ( a  + 1) ( a  + 1)… ( a  + 1) ,
    berechnet:
    Zum einen wird man alle ersten Summanden a mit sich multiplizieren müssen. Das ergibt a p . Zum anderen wird man alle letzten Summanden 1 mit sich multiplizieren müssen. Das ergibt 1 p  = 1. Also ist
    ( a  + 1)
p
 = ( a  + 1) ( a  + 1) ( a  + 1)… ( a  + 1) = a
p
+ 1 + … .
    Was hier schamhaft mit den drei Punkten … symbolisiert wird, ist alles Übrige, was beim Ausmultiplizieren dazukommt. Das werden die Potenzen a
p
-1 , a
p
-2 , a
p
-3 , und so weiter sein – nur stellt sich hier die Frage: Wie oft kommen sie vor? Zum Beispiel kommt die Potenz a
p
-1 dadurch zustande, dass man p   -  1 der ersten Summanden a mit genau einem der zweiten Summanden 1 multipliziert. Dafür gibt es beim Ausmultiplizieren insgesamt p Möglichkeiten. Also kommt die Potenz a
p
-1 in den drei Punkten als pa
p
-1 vor. Oder es kommt die Potenz a
p
-2 dadurch zustande, dass man p   −  2 der ersten Summanden a mit genau zwei der zweiten Summanden 1 multipliziert. Wie oft erfolgt das beim Ausmultiplizieren? Für den einen der beiden zweiten Summanden 1 bestehen p Auswahlen, für den andern nur mehr p   −  1 Auswahlen: das läuft auf p  ×  ( p − 1) hinaus. Allerdings muss man diese Zahl noch durch 1  ×  2 dividieren, denn welche der beiden Summanden 1 als Erster und welcher als Zweiter gewählt wurde, ist unerheblich. Also kommt die Potenz a
p
-2 in den drei Punkten als

    vor. Allgemein überlegt man sich, dass die Potenz a
p
-
n
dadurch zustande kommt, dass man p  –  n der ersten Summanden a mit genau n der zweiten Summanden 1 multipliziert. Wie oft