Die Zahl, die aus der Kälte kam: Wenn Mathematik zum Abenteuer wird (German Edition)

0,
3 = 1  ×  2 + 1   und   2 = 1  ×  2 + 0.
    Diese Darstellungen der Hochzahlen fügt man in die obige Formel ein, so dass eine Darstellung von 42 entsteht, in der nirgendwo, auch nicht in den Hochzahlen, Zahlen vorkommen, die größer als 2 sind:
    .
    Der Einfachheit halber können wir in dieser Darstellung von 42, für die wir 2 (42) schreiben, alle Summanden, bei denen der Faktor 0 auftaucht, weglassen. Also bleibt:
    .
    Jetzt bläht Goodstein die Zahl 42 von der Basis 2 zur Basis 3 auf, indem er überall, wo die Zahl 2 auftaucht, diese durch 2 + 1 = 3 ersetzt. Er bekommt somit
    22 876 792 455 045.
    Ein solches Aufblähen hat es also in sich.
    An dieser Stelle ist es von Nutzen, für das Aufblähen eine Bezeichnung einzuführen: Wir schreiben b ( a ), wenn wir die Zahl a zur Basis b darstellen, darin eingeschlossen auch alle vorkommenden Hochzahlen und wenn nötig auch die Hochzahlen dieser Hochzahlen, so dass nirgendwo in dieser Darstellung eine größere Zahl als b aufscheint. Ersetzt man nun alle in dieser Darstellung vorkommenden Zahlen b durch die um 1 größere Zahl b +  1, ist die Zahl a von der Basis b zur Basis b  + 1 aufgebläht worden. Das Ergebnis, das Goodstein mit diesem Aufblähen erhält, nennen wir b  + 1 Ω b ( a ). Es sind 6 Ω 5 (42) = 56, 8 Ω 7 (42) = 48, 11 Ω 10 (42) = 46 und 3 Ω 2 (42) = 22 876 792 455 045.
    Wie sich zeigt, wirkt sich das Aufblähen einer Zahl nur dann aus, wenn die Basis b höchstens so groß wie die Zahl a ist, die aufgebläht werden soll. So ist zum Beispiel 42 zur Basis 43 dargestellt nichts anderes als 42 selbst, und ein Ersetzen von 43 durch 44 ändert daran gar nichts. Also ist 44 Ω 43 (42) = 42. Natürlich ist auch 100 Ω 99 (42) = 42, allgemein gilt für jede Basis b , die größer als 42 ist, b  + 1 Ω b (42) = 42.
    Wenn jedoch die Basis b viel kleiner als die Zahl a ist, explodiert b  + 1 Ω b ( a ) regelrecht.
    Nun kommen wir zum Clou dessen, weshalb Goodstein diesen Begriff des Aufblähens einer Zahl erfand. Goodstein geht von irgendeiner Zahl a 1 aus. Zuerst stellt er a 1 zur Basis 2 dar, bildet also 2 ( a 1 ) und bläht die Zahl von der Basis 2 zur Basis 3 auf, das heißt, er berechnet 3 Ω 2 ( a 1 ). Von der so erhaltenen Zahl zieht er 1 ab, und nennt das Ergebnis a 2 . Es ist also a 2  =  3 Ω 2 ( a 1 )  −  1. Diese Zahl a 2 stellt Goodstein zur Basis 3 dar und bläht die Zahl von der Basis 3 zur Basis 4 auf, er berechnet also 4 Ω 3 ( a 2 ). Die nächste Zahl a 3 seiner Folge bekommt er, wenn er von diesem Ergebnis 1 abzieht, das heißt: a 3  =  4 Ω 3 ( a 2 )  −  1. Jetzt stellt Goodstein a 3 zur Basis 4 dar, bläht sie von der Basis 4 zur Basis 5 auf, bildet also 5 Ω 4 ( a 3 ), und zieht, um die Zahl a 4 zu erhalten, davon wieder 1 ab: a 4  =  5 Ω 4 ( a 3 )  −  1. In dieser Weise fährt er immer weiter fort. Die Folgeglieder seiner Folge sind somit:
    a 1 , a 2 =  3 Ω 2 ( a 1 )  −  1, a 3  =  4 Ω 3 ( a 2 )  −  1, a 4  =  5 Ω 4 ( a 3 )  −  1, a 5  =  6 Ω 5 ( a 4 )  −  1, …,
    allgemein: a n  =  n  + 1 Ω n ( a n  – 1 )  −  1.
    Sehen wir uns zum Beispiel die Goodstein-Folge von a 1  = 3 an: Es ist 2 (3) = 1  ×  2 + 1, also 3 Ω 2 (3) = 1  ×  3 + 1 = 4, folglich a 2  =  3 Ω 2 (3)  − 1 = 4 − 1 = 3. Nun ist 3 (3) = 1  ×  3, also 4 Ω 3 (3) = 1  ×  4 = 4 und a 3  =  4 Ω 3 (3)  − 1 = 4 − 1 = 3. Als Nächstes lautet 4 (3) = 3, hier ändert sich beim Aufblähen nichts: 5 Ω 4 (3) = 3, und daher ist a 4  = 3 − 1 = 2. Es bleibt auch 6 Ω 5 (2) = 2, also ist a 5  = 2 − 1 = 1, und es bleibt auch 7 Ω 6 (1) = 1, also ist a 6  = 1 − 1 = 0. Von da an bleibt die Goodstein-Folge konstant null.
    Bei der Goodstein-Folge von a 1  = 4 geht es bereits heftiger zu: Es ist 2 (4) = 1  ×  2 2 , also 3 Ω 2 (4) = 1  ×  3 3  = 27, folglich a 2  =  3 Ω 2 (3)  −  1 = 27  −  1 = 26. Nun ist  3 (26) = 2  ×  3 2  + 2  ×  3 + 2, also 4 Ω 3 (26) = 2  ×  4 2  + 2  ×  4 + 2 = 42, folglich a 3  =  4 Ω 3 (26)  − 1 = 42 − 1 = 41. Als Nächstes lauten die Folgeglieder a 4  = 60, a 5  = 83, a 6  = 109, a 7  = 139. Scheinbar werden die Folgeglieder immer größer. Tatsächlich muss man ziemlich lange warten, bis diese Zunahme aufhört. Dann aber bleibt die Folge für lange Zeit konstant und nimmt schließlich – weil die Basis schon größer als das