Aristoteles: Grundwissen Philosophie

(=Kreis) und [16] Lineal (=Gerade) geführt werden: Was sich mit Zirkel und Lineal effektiv konstruieren ließ und sich damit als aus Kreis und Gerade zusammengesetzt erwies, galt als euklidisch beweisbar und geometrisch existent.
    Die Syllogistik ist ein weiterer wichtiger Fall von Analytik, wie sich an ihren wichtigsten Elementen zeigt (APr. I, 1–6):
    Ein
syllogistischer Satz
hat eine der vier folgenden Formen: (i) Das A kommt allen Bs zu (abgekürzt AaB); (ii) das A kommt keinem B zu (abgekürzt AeB); (iii) das A kommt einigen Bs zu (abgekürzt AiB); (iv) das A kommt einigen Bs nicht zu (abgekürzt AoB). Dabei sind »A« und »B« Variablen für einstellige universelle Begriffe und »a«, »e«, »i«, »o« die syllogistischen Relationen, also die entscheidenden logischen Konstanten der Syllogistik.
    Ein
syllogistischer Schluss
ist ein Schluss, der genau zwei syllogistische Sätze als Prämissen und einen syllogistischen Satz als Konklusion enthält, derart dass die beiden Prämissen einen universellen Begriff teilen und der syllogistische Schluss eine der drei folgenden Formen hat:
    (1) AxB, BxCAxC; (2) BxA, BxCAxC; (3) BxA, CxBAxC Dies sind die drei
syllogistischen Figuren
. Dabei ist B der gemeinsame Begriff oder
Mittelbegriff
, während A und C
Außenbegriffe
sind. Der Mittelbegriff ist entweder Subjekt der ersten und Prädikat der zweiten Prämisse (wie in (1)) oder Prädikat beider Prämissen (wie in (2)) oder Subjekt beider Prämissen (wie in (3)).
    Wenn wir in den syllogistischen Figuren für die Variable x die vier syllogistischen Relationen (a, e, i, o) in allen möglichen Kombinationen einsetzen, erhalten wir 192 (=3×4×4×4) syllogistische Schlüsse. Die entscheidende Frage lautet dann: Welche der 192 syllogistischen Schlüsse – auch einfach Syllogismen genannt – sind syllogistisch gültig? Diese Frage zu beantworten ist die Aufgabe der Syllogistik, und die Antwort, die Aristoteles fand, bestand in der Entwicklung der ersten formalen Logik der Weltgeschichte.
    Die entscheidende Idee ist zu sagen, dass und warum eine [17] kleine Zahl von syllogistischen Schlüssen perfekt und damit formal gültig ist. Hier sind die vier perfekten Syllogismen (samt ihren mittelalterlichen mnemotechnischen Namen), die Aristoteles angibt (der Pfeil steht für eine gültige Deduktion):
    A1 AaB, BaCAaC
(Barbara)
    A2 AeB, BaCAeC (
Celarent
)
    A3 AaB, BiCAiC (
Darii
)
    A4 AeB, BiCAoC
(Ferio)
    Diese Syllogismen sind perfekt oder gültig aufgrund unseres Verständnisses der a-Relation und der e-Relation. »AaB« verstehen wir beispielsweise so, dass es kein B-Ding gibt, das nicht auch ein A ist (APr. I 4, 25b 39–40, vgl. 24a 18 und 26a 27). Wenn es nun kein C-Ding gibt, das nicht auch B ist, und kein B-Ding, das nicht auch A ist, dann kann es auch kein C-Ding geben, das nicht auch A ist. Denn angenommen, es gäbe mindestens ein C-Ding, das nicht A ist – nennen wir es C* –, dann folgt, dass wenn C* gemäß der zweiten Prämisse in A1 auch B ist, es mindestens ein B-Ding gibt, das nicht A ist, im Widerspruch zur ersten Prämisse in A1 . Somit muss A1 schon aufgrund unseres Verständnisses, und damit aufgrund der Bedeutung der a-Relation, gültig sein. Aristoteles erwähnt übrigens die o-Relation und die i-Relation hier nicht, weil, wie er selbst zeigt, A1 und A2 theoretisch ausreichen: A3 und A4 können mittels A1 und A2 bewiesen werden. (APr. I 7)
    Ferner ist aufgrund der Bedeutung der syllogistischen Relationen klar, dass gilt (der Doppelpfeil steht für »wechselseitig logisch gültige Deduktion« und »« für »es ist nicht der Fall, dass«):
    L1 AeB(AiB)
    L2 AaB(AoB).
    Und schließlich setzt Aristoteles das Prinzip des indirekten Beweises (das er
Prinzip der zum Unmöglichen führenden Deduktionen
nennt) voraus, z. B. in der folgenden Form:
    PI Seien R, S, T syllogistische Sätze, dann gilt: Wenn die DeduktionT, SR gültig ist, dann auch die Deduktion R, ST.
    [18] Es gibt in den logischen Schriften keine Rechtfertigung von PI , aber weil PI aus dem Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten (»p oder nicht-p« gilt für jeden Satz p) folgt und dieses Prinzip in Buch IV der
Metaphysik
ausführlich gerechtfertigt wird, können wir auch PI als begründet ansehen.
    Die Annahmen A1 , A2 , L1 , L2 und PI sind eine hinreichende Grundlage für die nächste Herausforderung, die von der Syllogistik zu bewältigen ist: syllogistisch zu beweisen, welche weiteren Syllogismen formal gültig sind. Dazu musste Aristoteles zunächst