Quantenphysik für Dummies (Für Dummies) (German Edition)

werden sich in den Kapiteln 8–10 bzw. 11 ausführlich mit dreidimensionalen Problemen sowie Vielteilchen-Systemen beschäftigen. Darüber hinaus gibt es auch eine zeitabhängige Form der Schrödinger-Gleichung, auf die in Kapitel 4 kurz eingegangen wird (siehe »Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit der Wellenfunktion«). Da die Zeitabhängigkeit aber darüber hinaus in diesem Buch keine Rolle spielt, wird sie hier nicht näher betrachtet.
    Nachdem Sie jetzt einige neue Begriffe kennen gelernt haben, möchte ich Ihnen noch einen Tip mit auf den Weg geben: Betrachten Sie die Schrödinger-Gleichung einfach als eine Grundgleichung der Quantenmechanik, deren Berechtigung auf ihrer Fähigkeit beruht, die richtigen Ergebnisse zu liefern.
    Keine Angst, sie müssen nicht in der Lage sein, die Schrödinger-Gleichung herleiten zu können. Sie müssen aber in der Lage sein, mit ihr zu arbeiten. Dies ist das Ziel dieses Buches, in dessen Verlauf diese bislang eher abstrakten Begriffe mit Leben gefüllt werden.

Zustände und Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik
    Als Zustand eines Systems bezeichnet man die Gesamtheit aller Parameter, mit deren Hilfe dieses System beschrieben werden kann. In der klassischen Physik werden diese Parameter durch Größen wie Ort, Geschwindigkeit, Energie usw. beschrieben. In der Quantenphysik ist das dagegen nicht so einfach möglich. Man hat aber zwei verschiedene Möglichkeiten, um den physikalischen Zustand eines Systems mathematisch darzustellen:
    In Form einer orts- und zeitabhängigen Wellenfunktion ψ ( r , t ). Diese Möglichkeit wurde bereits im vorangegangenen Abschnitt dargestellt.
    In Form eines Zustandsvektors |ψ> in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum, der Hilbert-Raum genannt wird. In diesem Fall verwendet man die Dirac-Schreibweise , auf die im folgenden Abschnitt eingegangen wird.
    Die Tatsache, dass sich ein quantenmechanischer Zustand nur noch durch Zustandsvektoren oder Wellenfunktionen beschreiben lässt, hat weitreichende Konsequenzen. In der klassischen Physik kann man den Ort eines Teilchens genau angeben, etwa x = 9,2 cm. Derartige Angaben sind in der Quantenphysik unmöglich. Statt dessen kann man nur noch Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, dass sich ein Teilchen an einem bestimmten Ort befindet. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen am Ort r im Volumenelement d 3 r zu finden, wird durch folgenden Ausdruck beschrieben:

    Diese Größe wird auch Wahrscheinlichkeitsdichte genannt.
    Beachten Sie, dass in diesem Ausdruck das Quadrat der Wellenfunktion steht und nicht die Wellenfunktion selbst.
    Aus dem Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich nun automatisch die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, ein Teilchen überhaupt irgendwo zu finden, gleich Eins sein muss. Mathematisch ausgedrückt lautet diese Forderung:

    Mit anderen Worten bedeutet das, dass eine Wellenfunktion, die eine physikalisch sinnvolle Lösung der Schrödinger-Gleichung ist, sich auf eins normieren lassen muss. Keine Sorge, Sie werden im Verlauf dieses Buches noch viele Wellenfunktionen normieren, doch an dieser Stelle haben Sie schon mal gelernt, dass das nichts anderes ist, als sicherzustellen, dass sich das Teilchen irgendwo in dem betrachteten Raum befindet. (Und es sich auch nur um ein Teilchen handelt.)
    Aus der Tatsache, dass Sie in der Quantenphysik mit Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeitsdichten rechnen, ergibt sich unmittelbar auch, dass eine Größe hier eine Rolle spielt, die Sie vielleicht aus der Statistik kennen: der Erwartungswert. Der Erwartungswert gibt den wahrscheinlichsten Wert einer Größe wie beispielsweise des Ortes x an; er wird mit < x > bezeichnet. Er ist der Mittelwert , der sich aus zahlreichen Einzelbeobachtungen der Koordinate x am selben System ergibt.

Die Darstellungsweise
    In der Quantenmechanik gibt es drei generelle, sich stark voneinander unterscheidende Arten der Darstellung, die auch alle in diesem Buch verwendet werden:
    Matrizenmechanik: Die erste Formulierung der Quantenmechanik erfolgte 1925 durch Werner Heisenberg, der dafür bereits 1932 den Nobelpreis für Physik erhielt. Mithilfe der Matrix-Darstellung lassen sich zahlreiche Aufgaben in der Quantenphysik lösen; daher wird diese Darstellung in Kapitel 3 eingeführt.
    Wellenmechanik: Die Wellenmechanik wurde bereits wenige Monate nach der Matrizenmechanik von dem österreichischen Physiker Erwin Schrödinger vorgestellt; er erhielt dafür 1933 gemeinsam mit dem Briten