MAGICA MATHEMATICA

Parallelogramme,
wie beispielsweise ein Quadrat ein besonderes Rechteck ist. Trotzdem, vorhin
haben wir doch ein allgemeines Parallelogramm eines ohne Besonderheiten
erhalten, weil wir ein allgemeines Dreieck ergänzt haben. Also sollten wir
jetzt herausfinden, wie wir den Flächeninhalt eines solchen Parallelogramms
berechnen. Dann haben wir auch die Lösung für das Dreieck.“
    Pedro überlegt sich, wie er den
Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnen kann. Wieder malt er sich die
verschiedensten Parallelogramme auf Karopapier.
     
     
    Ihm fällt sofort etwas auf: „Es sind immer
nur die Ecken, die stören. Diese Ecken sind irgendwie rechts und links
dieselben. Es sieht so aus, als könnte ich sie an einer Seite abschneiden und
auf dem Kopf an der anderen Seite ankleben.“
    „Ja, tu das. Es ist sogar egal, wo du
schneidest“; sagt Carla. „Du brauchst gar nicht nur die Ecke allein
abschneiden. Es genügt, wenn du das Parallelogramm irgendwo im rechten Winkel
zur Grundseite durchschneidest. Quatsch, nicht irgendwo, wichtig ist, dass du
die ganze Höhe, also die ganze Breite des Parallelstreifens erfasst.
     
     
    Es entsteht ein Rechteck. Siehst du? Dabei
wird die Grundseite zwar für kurze Zeit geteilt, aber sofort wieder
zusammengefügt. Die Länge der Grundseite bleibt also gleich.“
    „Beides bleibt sogar gleich. Die
Grundseite und die Höhe werden beim Verwandeln nicht verändert“, stimmt Pedro
zufrieden zu.
    „Genauso kannst du auch eine der beiden
anderen Parallelen als Grundseite wählen. Hast du ein besonders schräges,
verzerrtes Parallelogramm, bleibt dir gar nichts anderes übrig, weil du sonst
nicht entlang einer ganzen Höhe schneiden könntest“, warnt ihn Carla.
    Pedro bastelt noch eine Weile fasziniert
weiter und sagt dann stolz: „Alle Parallelogramme werden zu Rechtecken. Die
Raute wird zum Quadrat. Genau das wollte ich haben. Mit Rechtecken komme ich
zurecht. Zur Not könnte ich sogar die Kästchen zählen. Nichts vom
Parallelogramm bleibt übrig oder kommt in den Papierkorb. Alles, was ich
abschneide, wird auf der anderen Seite wieder angeklebt.“
    „Merkst du was? Jetzt kannst du doch die
Flächenformel für das Parallelogramm sehen. Du brauchst sie nur am Rechteck
abzulesen:
     
     

     

     
    Wobei a die Grundseite und die
Höhe oder die Breite unseres Parallelstreifens ist.“
    Pedro überlegt. „Jedes Dreieck können wir
durch Verdoppeln in ein Parallelogramm verwandeln. Jedes Parallelogramm können
wir, ohne seine Fläche zu vergrößern oder zu verkleinern in ein Rechteck
verwandeln.“
    Pedro sieht sich noch mal die Formeln bei
den entstandenen Parallelogrammen an.

     

     

     
    Carla hat tatsächlich nichts anderes
getan, als unter die Formel des Parallelogramms einen Bruchstrich gezogen und
eine Zwei darunter gesetzt, klar, weil das Dreieck ja auch nur die Hälfte des
Parallelogramms ist.
    „Das gefällt mir. So ist es keine Zauberformel“,
sagt Pedro.
    „Begründet eure Vorgehensweise. Nutzt es
aus, dass ihr euer Wissen gegenseitig ergänzen könnt“, zitiert Carla noch mal
die Aufgabenstellung. „Ich glaube, für die Fläche des Dreiecks ist uns beiden
das ganz gut gelungen.“
    Pedro nimmt sich ein Panini mit Käse und
Tomaten und guckt sich die Formel zum ersten Mal genauer an, jetzt drum er sie
endlich versteht. „Carla guck mal was in der Formel steht: Der Flächeninhalt
eines Dreiecks ist immer Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei. Nehmen wir mal
an, wir zeichnen die verschiedensten Dreiecke, aber immer mit derselben
Grundseite in einen Parallelstreifen, die Höhe aller Dreiecke ist dann immer
die Breite des Parallelstreifens.“

     
    „Aah, jetzt kapiere ich, auf was du hinaus
willst. Ja, das schwarze, blaue und rote Dreieck haben alle denselben
Flächeninhalt, weil wir sie alle zu ein und demselben Rechteck verwandeln
können: Erst in ein Parallelogramm, dann in ein Rechteck. Probiere es doch aus,
es wird immer dasselbe Rechteck entstehen“, sagt Carla.
    „Ich glaube, das ist schon richtige
Mathematik: Wir können zig verschiedene Dreiecke aufzeichnen, die aber alle
denselben Flächeninhalt haben und wir wissen auch warum“, sagt Pedro überzeugt.

 
    DIE FÜNFTE STUNDE

Flächenformel
für das Dreieck (2. Teil)
    Pedro ist wieder am Malen, Schneiden und
Puzzeln. „Sag mal Carla, gibt es auch noch andere Formeln für die
Dreiecksfläche? Sieh mal diese Treppen an. Durch Zählen der Karos kann ich
sehen, wie hoch mein Dreieck ist. Genau