Mathe ist doof

Titel: Mathe ist doof
Autoren: Thomas Royar

Vom Netzwerk:

denen Symmetrie und Transitivität verletzt werden. Auch unsere Sprache ist hier nicht ganz so streng.
    „Quadrat = Viereck mit gleich langen Seiten“ würden wir lesen als „Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleich langen Seiten“, was eine korrekte Feststellung ist.
    Aber wie steht es mit der Symmetrie? „Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat?“ Ist das ebenfalls richtig?
Lösung folgt gleich, zuvor noch ein weiteres Beispiel:
    Ein Rechteck ist ein Viereck. Richtig. Ein Viereck ist ein Rechteck? Nicht unbedingt. „Rechteck = Viereck“ wäre unzulässig.
    So auch die obige Aussage. Es gibt sehr wohl Vierecke mit gleich langen Seiten, die kein Quadrat sind.



    Hier sehen Sie ein Beispiel für ein solches Viereck. Vierecke mit gleich langen Seiten nennt man Raute oder Rhombus (auch wenn sie nicht „brav“ „auf einer Ecke stehen“ oder „einer Seite liegen“.)
    In der alten, einfachen Programmiersprache BASIC wurde das Gleichheitszeichen zur Definition von Variablen verwendet (wie auch in der Mathematik üblich). „A = 2“ legte fest, dass später z. B. dem Ausdruck „A + 3“ die Zahl „5“ zugewiesen wurde.
    Nun ist es in Programmen oft so, dass sich Variablen während des Ablaufs verändern. Den Befehl „Vergrößere die Variable A um 1!“ übersetzte man in BASIC folgendermaßen: „A = A + 1“. Mathemati kern pflegte sich bei dieser Schreibweise der Magen umzudrehen.
    1 ∙ 4 = 4 ∙ 1. Stellen Sie sich den jeweils ersten Faktor als „so oft“ und den zweiten als „Sack Zement“ vor. Die Ausdrücke links und rechts der Gleichung beschreiben den Transport von vier Säcken Zement vom Keller in den siebten Stock. Es fühlt sich ganz sicher nicht „gleich“ an, ob Sie alle vier Säcke auf einmal schleppen oder vier Mal die Treppen hoch und runter laufen (oder laufen Sie nur drei Mal runter?)…
    Vielleicht erinnern Sie sich an die „binomischen Formeln“, mit deren Hilfe man quadratische Rechenausdrücke anders schreiben kann. Eine dieser Formeln lautet (a + b)² = a² + 2ab + b².

    Diese kann man geometrisch sogar recht gut begründen:





                  a               b
    Der Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge (a + b) setzt sich aus den Inhalten der beiden Quadrate a² und b² sowie dem der beiden Rechtecke (ab) zusammen.
    Eine weitere Formel, die man in der Schule lernt, ist die „Abkür zung“ des berühmten „Satz des Pythagoras“ („in einem rechtwinkli gen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypo tenusenquadrat“):
    a² + b² = c²






    Wenn also
    (a + b)² = a² + 2ab + b² = a² + b² + 2ab
    und
    a² + b² = c²,   gilt dann nicht auch
    (a + b)² = c² + 2ab ?
    Was ist hier nun wieder problematisch?
    Bei den binomischen Formeln handelt es sich um Äquivalenz umfor mungen, d. h. links und rechts des Gleichheitszeichens stehen völlig gleichbedeutende Ausdrücke.
    Die „Gleichung“ a² + b² = c² ist offensichtlich etwas anderes. Sie beschreibt das (zahlenmäßige) Verhältnis zwischen bestimmten, an anderer Stelle definierten Größen. Sie gilt nicht allgemein, sondern nur für den Fall, dass mit a, b und c die Seitenlängen eines recht winkligen Dreiecks benannt sind und dabei c diejenige Seite ist, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.
    So gilt in diesem Fall (aber eben nur dann) auch die Gleichung
    (a + b)² = c² + 2ab.
    Ähnlich wie bei BASIC wird in der Mathematik das Gleichheitszei chen auch benutzt, um Variablen festzulegen oder zu bestimmen. So schreiben Mathematiker „x = 2“ und meinen damit entweder „x soll 2 sein“ oder „für x = 2 stimmt die Aussage.“
    Letzteres träfe z. B. zu für 3 + x = 5.
    Was aber nun, wenn man für x die Zahl 1 „einsetzen“ würde?
    Dann stünde da 3 + 1 = 5. Ist das eine Gleichung?
    Sicher ist auch das eine „Gleichung“, aber eine, die nicht „richtig“ ist. Mathematiker würden das eher eine „falsche Aussage“ nennen.
    Auf das Gleichheitszeichen scheint also nicht richtig Verlass zu sein!
    Das Spiel mit dem Gleichheitszeichen und scheinbar zulässigen „Umformungen“ führt zu verblüffenden „Beweisen“, dass 1 gleich 2 ist oder ähnlich sinnigen Zusammenhängen.
    Der „Haken“ an diesen Spielchen ist fast immer der Gleiche. Können Sie ihn in folgendem Beispiel entdecken?
    1.       x = 1
    2.       Dann gilt: x² = x
    3.       Allgemein gilt:
(x

Vom Netzwerk: