Warum Kuehe gern im Halbkreis grasen

„bcda“ oder mathematisch 1000b + 100c + 10d + a. Wenn man diese beiden Zahlen addiert, erhält man 1001a + 1100b + 110c + 11d. Da jede der Zahlen 1001, 1100, 110 und 11 ohne Rest durch 11 teilbar ist, ist auch die gesamte Summe durch 11 teilbar.
    Daher kann man sich sicher sein, dass ein Rechenfehler vorliegt, wenn das Ergebnis nicht durch 11 teilbar ist, obwohl man die für die Rechnung verwendeten Zahlen nicht kennt.

Im Auto
    Eine Familie fährt mit dem Auto. Das Produkt aus der Anzahl der am Auto befindlichen Räder, dem Alter des Fahrers und der Anzahl der mitfahrenden Personen beträgt 444.
    Wie alt ist der Fahrer und wie viele Personen sitzen im Auto?

    Tipp: Wenn Sie keine Idee für einen mathematischen Ansatz haben, können Sie auch durch Ausprobieren eine Lösung finden.
    Lösung: Die Zahl der Räder mal dem Alter des Fahrers mal der Anzahl der im Auto sitzenden Personen soll 444 ergeben. Wir gehen von einem handelsüblichen PKW aus und wissen daher, dass das Fahrzeug vier Räder haben wird. Dadurch reduziert sich die Frage: 444 geteilt durch 4 ergibt 111, das Produkt aus dem Alter des Fahrers und der Anzahl Personen im Auto.
    Bleibt zu klären, welche beiden positiven ganzen Zahlen man miteinander multiplizieren muss, damit das Ergebnis 111 herauskommt. Man kann vielfach probieren, indem man die Zahl durch 2, 3, 4, 5 und so weiter teilt. Sie werden dabei nur eine Möglichkeit finden, bei der sich eine ganzzahlige Lösung ergibt: 111 : 3 = 37.
    Damit kennt man alle Teiler der Zahl 111! Denn die Zahlen 3 und 37 sind Primzahlen, also Zahlen, die nur durch 1 und durch sich selbst ohne Rest teilbar sind. Das bedeutet, dass man 111 nur durch 3 und 37 ohne Rest teilen kann (abgesehen von den Teilern 1 und 111).
    Die Aufgabenstellung lautet also, die Zahl 111 als Produkt des Alters des Fahrers und der Anzahl der Personen im Auto zu schreiben. Nun gibt es nur zwei Möglichkeiten, 111 in ein Produkt zu zerlegen, nämlich 111 = 3 × 37 und 111 = 1 × 111. Da der Fahrer bestimmt nicht ein oder drei Jahre alt ist und da das Auto garantiert nicht 111 Personen fasst, gibt es nur eine sinnvolle Antwort: Der Fahrer ist 37 Jahre alt, und es fahren drei Personen im Auto.

    Zusatzaufgabe: Berechnen Sie 6 · 37, 9 · 37, 12 · 37, 15 · 37, …
    Können Sie mit der Erkenntnis, die Sie dabei gewonnen haben, auch Aufgaben wie 7 · 37, 10 · 37 oder auch 8 · 37 im Kopf lösen?

Die Kehrseite dreier Würfel
    Bei diesem Würfelspiel können Sie herausfinden, welche Augenzahlen Ihr Mitspieler gewürfelt hat. Lassen Sie ihn mit drei Würfeln nacheinander würfeln, und zwar so, dass Sie nicht sehen, wie die Würfel gefallen sind. Die drei Augenzahlen werden aneinandergereiht als dreistellige Zahl aufgeschrieben. Anschließend werden die drei Würfel herumgedreht, so dass die Augenzahlen der gegenüberliegenden Seiten sichtbar werden. Diese werden in der gleichen Reihenfolge wie die zunächst gewürfelten Ziffern ergänzt, sodass eine sechsstellige Zahl entsteht.
    Mit dieser Zahl soll Ihr Mitspieler zwei Rechnungen durchführen. Dafür ist ein Taschenrechner hilfreich. Zunächst wird durch 3 geteilt und anschließend durch 37.
    Lassen Sie sich das Ergebnis nennen, ziehen Sie 7 ab und teilen Sie das Ergebnis durch 9. Nennen Sie Ihrem Mitspieler die drei Ziffern Ihres Ergebnisses!

    Tipp: Um zu verstehen, was bei diesem Rechentrick passiert, stellt man am besten eine Gleichung auf. Beachten Sie dabei, wie die Zahlen auf den Würfeln angeordnet sind!
    Lösung: Nehmen wir an, dass Ihr Mitspieler die Ziffern 3, 1 und 5 gewürfelt hat. Diese werden als 315 aufgeschrieben. Nach dem Umdrehen der Würfel sind die Zahlen 4, 6 und 2 zu sehen, da die gegenüberliegenden Seiten der Würfel zusammen immer die Summe 7 ergeben. Zusammen erhält man die sechsstellige Zahl 315462. Nach den ersten beiden Rechnungen nennt Ihnen Ihr Mitspieler die Zahl 2842. Anschließend rechnen Sie die beiden verbleibenden Schritte und erhalten 315, die zunächst gewürfelten Ziffern.

    Alle Schritte kann man in einen Term fassen. Vereinfacht man diesen, so löst sich das Rätsel auf. Entscheidend ist, wie man die einzelnen Schritte aufschreibt. Die Zahlen, die Ihr Mitspieler gewürfelt hat, bezeichnen wir als a, b und c. Sie stehen als 100 000er, 10 000er und 1000er Stelle der sechsstelligen Zahl, was man als 100 000a + 10 000b + 1000c notieren kann. Die drei Zahlen auf den gegenüberliegenden Seiten der Würfel sind 7 – a, 7 – b und 7 – c. Sie werden als