Nullen machen Einsen groß: Mathe-Tricks für alle Lebenslagen (German Edition)

Insgesamt hat ein n-Eck n(n   –   3)/2 Diagonalen. Ohne den Quotienten 2 würden wir jede Diagonale doppelt zählen. Laut Aufgabe muss dann gelten n(n   –   3)/2   =   3n. Das formen wir zu n 2   =   9n um. Für positive n gibt es dann nur eine Lösung: n   =   9.
    Aufgabe 21   *  
    Ein Bösewicht hat ein Portemonnaie gestohlen. Darin stecken eine Geldkarte und eine Visitenkarte des Besitzers mit der handschriftlichen Notiz „Der Vater siebt Dukaten“. Es gelingt dem Dieb, mit der Karte Geld abzuheben. Wie hat er die Geheimnummer herausbekommen?
    Der Satz „Der Vater siebt Dukaten“ kodiert über die Anfangsbuchstaben die 4 Ziffern der Geheimzahl. Dabei gilt: D er   =   3, V ater   =   4, Sieb t   =   7 und D ukaten   =   3. Die Geheimzahl ist 3473.
    Aufgabe 22   **  
    Sie fragen: „Wie lautet Ihre Telefonnummer?“ Der Gedächtniskünstler antwortet: „Ein Bett steht lichterloh brennend auf dem Damm. Das Feuer ist geformt wie eine Rose.“ Welche Nummer notieren Sie?
    91 13 84 40. Nach dem Major-System steht Bett für 91, Damm für 13, Feuer für 84 und Rose für 40.
    Aufgabe 23   **  
    Finden Sie alle Paare natürlicher Zahlen (a;b), welche die Gleichung 2a   +   3b   =   27 erfüllen.
    Wir bringen 3b auf die andere Seite und klammern dort 3 aus.

    a muss ein Vielfaches von 3 sein, also setzen wir a   =   3n in die Gleichung ein und erhalten:

    Lösungen gibt es nur für ungerade b, in Frage kommen 1, 3, 5, 7, 9. Daraus ergeben sich die Lösungspaare (12; 1), (9; 3), (6; 5), (3; 7) und (0; 9).
    Aufgabe 24   **  
    Warum endet eine Quadratzahl niemals auf 7?
    Wenn a eine beliebige natürliche Zahl >   0 ist und b eine einstellige natürliche Zahl, lässt sich jede natürliche Zahl in der Form 10a   +   b darstellen, wobei b der Einer dieser Zahl ist. Als Quadrat dieser Zahl ergibt sich 100a 2 +   20ab   +   b 2 . Der Einer des Quadrats ist deshalb identisch mit dem Einer von b 2 . Das Quadrat einstelliger Zahlen endet auf die Ziffern 0, 1, 4, 9, 6 oder 5 – deshalb kann eine Quadratzahl niemals auf 7 enden – und übrigens auch nicht auf 2, 3 oder 8.

    Auf welche Ziffer eine Quadratzahl endet, hängt einzig und allein von der letzten Ziffer der Zahl ab, die man quadriert.
    Aufgabe 25   ***  
    Beweisen Sie, dass der halbe Umfang eines Dreiecks stets größer ist als jede seiner drei Seiten!
    In einem Dreieck ist die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite. Wir nehmen an, c ist die größte Seite. Dann gilt: a   +   b   >   c. Nun addieren wir auf beiden Seiten der Ungleichung c und teilen beide Seiten danach durch 2. Wir erhalten: (a   +   b   +   c)/2   >   c. Damit haben wir gezeigt, dass der halbe Umfang größer ist als die größte Seite des Dreiecks. Also ist der halbe Umfang auch größer als die beiden anderen Seiten.
    Aufgabe 26   *  
    Zeigen Sie, dass die Trachtenberg-Regel für die Multiplikation mit 12 stets zum richtigen Ergebnis führt.
    Wenn ich schriftlich mit 12 multipliziere, schreibe ich die Zahlen dreimal untereinander, aber davon eine um eine Stelle nach links versetzt. Beim Zusammenrechnen verdopple ich dann stets eine Ziffer und addiere dazu ihren rechten Nachbarn – das entspricht genau der Trachtenberg-Regel für die 12.
    Aufgabe 27   **  
    Beweisen Sie, dass die Kreuzmultiplikation einer zweistelligen Zahl mit einer zweistelligen Zahl zum richtigen Ergebnis führt.
    Die beiden Zahlen lauten ab und cd – a, b, c, d sind einstellige natürliche Zahlen. Dann ist das Produkt

    Dies entspricht genau der Rechenregel für das Kreuzprodukt.
    Aufgabe 28   ***  
    Zeigen Sie, dass die Trachtenberg-Regel für Rechnungen mal 6 funktioniert: Nimm die Zahl plus die Hälfte ihres Nachbarn und addiere 5, falls die Zahl ungerade ist.
    Wir zeigen die Gültigkeit der Regel an einer vierstelligen Zahl mit den Ziffern a, b, c, d. Der Trick besteht darin, die 6 in 5   +   1 zu zerlegen und die 5 noch mal als 1/2   ×   10 zu schreiben. Wir rechnen:

    Nun fassen wir die Faktoren vor gleichen Zehnerpotenzen zusammen:

    Dies entspricht exakt dem ersten Teil der Regel. Woher aber kommt die 5, die wir addieren, wenn eine Zahl ungerade ist? Ganz einfach: Wenn beispielsweise d ungerade ist, nehmen wir von dem Ausdruck c   +   d/2 genau 1/2 weg, somit rechnen wir an dieser Stelle mit der ganzzahligen Hälfte von d. Das 1/2 hat jedoch wie c   +   d/2 den Faktor 10, also wird es zur 5 und rutscht von der Zehnerstelle zur Einerstelle