Das neue Haus vom Nikolaus

von der Länge a + 1 in entgegengesetzter Richtung einmal komplett umrunden und dann auch noch das Stück x aufholen, bis sie zum zweiten Mal mit der Freundin zusammentrifft. Da Katia aber a-mal so schnell ist wie ihre Freundin und die Freundin zwischen erstem und zweitem Treffen die Strecke x zurückgelegt hat, hat Katia in dieser Zeit die Strecke a × x zurückgelegt, weswegen a × x = a + 1 + x gilt, und nach x aufgelöst:
     

     
    Was gilt nun für die Phase zwischen dem zweiten und dem letzten Rendezvous? Im Prinzip gleicht sie der ersten Phase, denn beide Läuferinnen befinden sich zu Beginn am selben Punkt und laufen in entgegengesetzte Richtungen, bis sie sich treffen. Das bedeutet, dass Sonja wieder die Strecke von 1 zurücklegt und Katia die Strecke von a.
    Damit legt Sonja in den drei Phasen des Rennens nacheinander folgende Strecken zurück: 1,
     

     
    1 oder aufsummiert:
     

     
    Da wir aber schon von Anfang an wissen, dass die Gesamtstrecke die Länge a + 1 hat und Sonja die Bahn insgesamt genau einmal umrundet, erhalten wir:
     

     
    Daraus gewinnt man durch Umstellen, Ausmultiplizieren und Zusammenfassen:
     
    a 2 – 3a = 0
     
    Und damit gelangen wir zu der einzig sinnvollen Lösung, dass a = 3 und Katia dreimal so schnell ist wie ihre Freundin. Das bedeutet, dass sie beim ersten Zusammentreffen den dreifachen Weg zurückgelegt hat wie Sonja, die laut Aufgabentext zu diesem Zeitpunkt 60   Meter zurückgelegt hat. Katia hat also beim ersten Rendezvous 180   Meter zurückgelegt. Daraus folgt, dass die Bahn insgesamt 240   Meter lang ist. Die Freundin umrundet die Bahn genau einmal, und während dieser Zeit fährt Katia permanentmit dem dreifachen Tempo der Freundin, weshalb sie 3 × 240 Meter = 720   Meter zurücklegt.
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62 Weihnachtspansch
    Jedes beliebige Mischungsverhältnis kann entstehen. Der Gastwirt stellt je einen Krug unter das Fass mit dem guten Wein und einen unter das Fass mit dem schlechteren Wein. Nun dreht er beide Zapfhähne voll auf, bis der Krug mit dem guten Wein (dunkle Farbe) randvoll ist. Dann ist der Krug mit weniger gutem Wein (helle Farbe) genau halb voll, und der dritte Krug ist noch leer. Jetzt dreht er beide Zapfhähne gleichzeitig wieder zu.

    Nun gießt er so lange Wein aus dem linken Krug in den mittleren Krug, bis der mittlere Krug voll ist. In dem mittleren Krug befindet sich nun die 50   :   5 0-Mischung für die normalen Stammgäste, der linke Krug ist exakt zur Hälfte mit gutem Wein gefüllt, der rechte Krug ist leer:

    Der Wirt stellt den rechten Krug unter das Fass mit dem mäßigen Wein und füllt ihn komplett auf:

    Er hat bis jetzt volumenmäßig genau einen Krug guten und 1,5   Krüge mäßigen Weines gezapft. Er darf deshalb ab jetzt nur noch vom guten Wein zapfen. Wenn er das tut, dann hat er von beiden Weinen jeweils dieselbe Menge gezapft. Er schüttet jetzt eine beliebige Menge des mäßigen Weines vom rechten in den linken Krug. Dies kann beliebig wenig, aber auch beliebig viel sein, nur nicht so viel, dass der linke Krug komplett voll ist. Anschließend füllt er nacheinander den linken und dann den rechten Krug so lange mit gutem Wein auf, bis beide randvoll sind. Jetzt hat er von beiden Weinen jeweils dieselbe Menge gezapft, er hat nur zweimal Wein aus einem Krug in einen anderen gekippt, die Mischungsverhältnisse des linken Kruges und des rechten Kruges sind zueinander reziprok, denn anhand der gezapften Mengen bleibt ihnen gar keine andere Wahl, und im linken Krug kann sich theoretisch jedes beliebige Mischungsverhältnis zwischen 50   :   50 und 100   :   0 von gutem zu mäßigem Wein befinden. Da der Wirt keinerlei Messinstrumente besitzt, kann er (außer einigen sehr speziellen Mischungsverhältnissen) zwar zufällig jedes beliebige Mischungsverhältnis bekommen, aber er kann nicht ein ganz konkretes Mischungsverhältnis, welches er im Sinn hat, erzwingen. (Er könnte es bestenfalls durch ein gutes Augenmaß angenähert erreichen.)
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63 Einbahnstraßen für Leitersheim
    Wir gehen von den zwei Hauptstraßen aus. Am Ortsanfang in der Höhe des Kaufhauses gibt es genau zwei Möglichkeiten, in den Ort einzufahren, nämlich eine Möglichkeit über die eine und eine Möglichkeit über die andere Hauptstraße. Ganz allgemein gibt es aber, wenn wir Einbahnstraßen anlegen auf jedem Streckenabschnitt der beiden Hauptstraßen, jeweils eine ganz